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Se a curva infinita y = e - x , x ≥ 0 é girada em torno do eixo x , calcule a área da superfície resultante

Passo 1

Precisamos lembrar como é a área de uma superfície de revolução, que é da seguinte forma

S = ∫ c d 2 π y 1 + d y d x 2   d x

Então, vamos primeiro calcular y '

y ' = e - x - 1 = - e - x

Agora, vamos calcular o d s

d s = 1 + d y d x 2 d x = 1 + e - 2 x   d x

Passo 2

Agora, podemos calcular S , só substituirmos o que já encontramos

S = ∫ 0 ∞ 2 π e - x 1 + e - 2 x   d x = 2 π

Vamos calcular o valor da integral separadamente e sem os limites de integração (uma integral indefinida). Então

∫ e - x 1 + e - 2 x   d x

Seja u = - e - x , temos que d u = e - x . Substituindo, ficamos com

∫ e - x 1 + e - 2 x   d x = ∫ 1 + u 2   d u

Usando uma tabela de integrais, obtemos o resultado

∫ 1 + u 2   d u = 1 2 u 1 + u 2 + 1 2 ln ⁡ u + 1 + u 2 + C = - 1 2 e - x 1 + e - 2 x + 1 2 ln ⁡ 1 + e - 2 x - e - x + C

Passo 3

Agora, basta substituirmos e aplicarmos os limites de integração né?! Não, temos que um dos limites de integração é , então precisamos colocar o limite de uma variável tendendo a infinito, e substituir infinito por esta variável, assim olha

S = 2 π lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a e - x 1 + e - 2 x   d x = 2 π lim a → ∞ ⁡ - 1 2 e - x 1 + e - 2 x + 1 2 ln ⁡ 1 + e - 2 x - e - x 0 a = 2 π lim a → ∞ ⁡ - 1 2 e - a 1 + e - 2 a + 1 2 ln ⁡ 1 + e - 2 a - e - a - - 1 2 1 + 1 + 1 2 ln ⁡ 1 + 1 - 1 = 2 π 1 2 0 1 + 1 2 ln ⁡ 0 + 1 - - 1 2 2 + 1 2 ln ⁡ - 1 + 2 = 2 π { 0 + 1 2 2 - ln ⁡ 2 - 1 = π 2 - ln ⁡ 2 - 1

Resposta

S = π 2 - ln ⁡ 2 - 1

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