Enunciado

Dada f → x ,   y ,   z = x 2 y ,   x + y ,   x z , verificar que:

∂ f → ∂ x 1 ,   0 ,   1 + ∂ f → ∂ y 1 ,   0 ,   1 = a →

Onde a → = lim x ,  y ,  z → 1 ,   1 ,   1 ⁡ f → x ,   y ,   z .

Passo 1

Então galera, o que devemos fazer aqui não é tããão complicado assim de enxergar, ok? Inicialmente precisamos descobrir as derivadas parciais da função que nos foi dada em relação a x e a y no ponto ( 1 ,   0 ,   1 ) . Se derivarmos nossa função, teremos o seguinte:

f → x ,   y ,   z = x 2 y ,   x + y ,   x z

∂ f → ∂ x 1 ,   0 ,   1 = 2 x y ,   1 ,   z ⇒ ∂ f → ∂ x 1 ,   0 ,   1 = 0 ,   1 ,   1

Agora em relação a y :

∂ f → ∂ y 1 ,   0 ,   1 = x 2 ,   1 ,   0 ⇒ ∂ f → ∂ y 1 ,   0 ,   1 = 1 ,   1 ,   0

Passo 2

Tudo bem, agora que encontramos as derivadas parciais no ponto em questão, temos que substituir na equação que nos foi dada, que é:

∂ f → ∂ x 1 ,   0 ,   1 + ∂ f → ∂ y 1 ,   0 ,   1 = a →

Substituindo o que encontramos:

0 ,   1 ,   1 + 1 ,   1 ,   0 = a →

∴ a → = 1 ,   2 ,   1

Passo 3

No entanto, o enunciado nos diz que a → = lim x ,  y ,  z → 1 ,   1 ,   1 ⁡ f → x ,   y ,   z , então teremos que calcular esse limite para ver o resultado bate, se liga:

lim x ,  y ,  z → 1 ,   1 ,   1 ⁡ f → x ,   y ,   z = lim x ,  y ,  z → 1 ,   1 ,   1 ⁡ x 2 y ,   x + y ,   x z

Substituindo os valores, teremos:

a → = 1 2 . 1 ,   1 + 1 ,   1.1

∴ a → = 1 ,   2 ,   1

Sendo assim, fica provado que, de fato, a → possui componentes 1 ,   2 ,   1 , assim como queríamos demonstrar! 😉

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