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Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 7.2 - Ex. 37

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Dada f x = ∫ 1 x 16 - t 4 d t , - 2 ≤ x ≤ 2 . Prove que f tem uma inversa f - 1 e calcule ( f - 1 ) ' ( 0 ) .

Passo 1

O bizu desta questão é buscar a derivada de f ( x ) sem tentar calcular f ( x ) . Vamos aplicar essa ideia devagar para não nos perdemos!

∫ 1 x 16 - t 4 d t = F x - F ( 1 )

Onde F ( t ) é uma primitiva! Note ainda que F 1 vai ser uma constante embora nos não saibamos seu valor. Assim teremos:

f x = F x - F 1

Derivando dos dois lados:

f ' x = D x F x - F 1

Como já falamos F 2 é constante logo sua derivada é igual a zero. Assim teremos:

f ' x = 16 - x 4

Note para qualquer valor de x no intervalo - 2,2 f ' x será positivo ( f ' x ≥ 0 ) !! Logo podemos dizer que f x é crescente no mesmo intervalo.

Por outro lado, sabemos que há um teorema que diz que se uma função é crescente (ou decrescente) em um intervalo, ela será bijetora. Deste modo, chegamos a conclusão que f - 1 x existe!

Passo 2

Agora, para prosseguir devemos nos lembrar de que:

f - 1 ' d = 1 f ' c , onde f ( c ) = d .

Então para calcular ( f - 1 ) ' ( 0 ) devemos descobrir c tal que f ( c ) = 0

Lembrando que ∫ a a h ( t ) d t = 0 , podemos notar que f 1 = 0

f 1 = ∫ 1 1 16 - x 4 d t = 0

Logo descobrimos que c = 1

Passo 3

Calculando f ' 1 , teremos:

f ' 2 = 16 - 1 4

f ' 2 = 1 5

Sabendo que f - 1 ' 0 = 1 f ' 1 , chegamos em:

f - 1 ' 0 = 1 15

Resposta

f - 1 ' 0 = 1 15

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