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Dada

f x = x 2 + 3 s e x ≤ 1 x + 1 s e 1 < x

E

g x = x 2 s e x ≤ 1 2 s e 1 < x

a ) Mostre que lim x → 1 - ⁡ f x e lim x → 1 + ⁡ f x ambos existe, mas não são iguais e, portanto, lim x → 1 ⁡ f x não existe.

a ) Mostre que lim x → 1 - ⁡ g x e lim x → 1 + ⁡ g x ambos existe, mas não são iguais e, portanto, lim x → 1 ⁡ g x não existe.

c ) Ache fórmulas para f x ∙ g x

d ) Prove que lim x → 1 ⁡ f x ∙ g x existe mostrando que

lim x → 1 - ⁡ f x ∙ g x = lim x → 1 + ⁡ f x ∙ g x

Passo 1

Letra a )

Vamos aos limites que ele pediu

lim x → 1 - ⁡ f x

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores menores de 1 .

Aqui vai ser x 2 + 3 .

Logo, vamos ter

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 - ⁡ x 2 + 3 = 1 2 + 3 = 4

Passo 2

Agora o outro

lim x → 1 + ⁡ f x

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores maiores de 1 .

Aqui vai ser x + 1 .

Logo, vamos ter

lim x → 1 + ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ x + 1 = 1 + 1 = 2

Passo 3

lim x → 1 ⁡ f x

Para o limite que ele pediu, temos que comparar os limites laterais.

Se eles forem iguais, o limite em 1 vai existir e será esse valor. Se eles forem diferentes o limite não existe.

Pelas letras a e b , os dois limites laterais vão ser 4 e 2 , respectivamente.

Eles são diferentes, então o limite não existe.

Passo 4

Letra b )

Vamos aos limites que ele pediu

lim x → 1 - ⁡ g x

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores menores de 1 .

Aqui vai ser x 2 .

Logo, vamos ter

lim x → 1 - ⁡ g x = lim x → 1 - ⁡ x 2 = 1 2 = 1

Passo 5

Agora o outro

lim x → 1 + ⁡ f x

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores maiores de 1 .

Aqui vai ser 2 .

Logo, vamos ter

lim x → 1 + ⁡ g x = lim x → 1 + ⁡ 2 = 2

Passo 6

lim x → 1 ⁡ f x

Para o limite que ele pediu, temos que comparar os limites laterais.

Se eles forem iguais, o limite em 1 vai existir e será esse valor. Se eles forem diferentes o limite não existe.

Pelas letras a e b , os dois limites laterais vão ser 1 e 2 , respectivamente.

Eles são diferentes, então o limite não existe.

Passo 7

Letra c )

Vamos agora ver as fórmulas para esse produto. Temos

f x = x 2 + 3 s e x ≤ 1 x + 1 s e 1 < x

E

g x = x 2 s e x ≤ 1 2 s e 1 < x

O produto vai ter os mesmos intervalos, então teremos

f x ∙ g x = x 2 + 3 ∙ x 2 s e x ≤ 1 x + 1 ∙ 2 s e 1 < x

Que é o produto das expressões das duas funções em cada intervalo.

f x ∙ g x = x 4 + 3 x 2 s e x ≤ 1 2 x + 2 s e 1 < x

Passo 8

Letra d )

Vamos aos limites que ele pediu

lim x → 1 - ⁡ f x ∙ g x

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores menores de 1 .

Aqui vai ser x 4 + 3 x 2 .

Logo, vamos ter

lim x → 1 - ⁡ f x ∙ g x = lim x → 1 - ⁡ x 4 + 3 x 2 = 1 4 + 3 1 2 = 1 + 3 = 4

Passo 9

Agora o outro

lim x → 1 + ⁡ f x ∙ g x

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores maiores de 1 .

Aqui vai ser 2 x + 2 .

Logo, vamos ter

lim x → 1 + ⁡ f x ∙ g x = lim x → 1 + ⁡ 2 x + 2 = 2 1 + 2 = 2 + 2 = 4

Passo 10

lim x → 1 ⁡ f x ∙ g x

Para o limite que ele pediu, temos que comparar os limites laterais.

Se eles forem iguais, o limite em 1 vai existir e será esse valor. Se eles forem diferentes o limite não existe.

Pelas letras a e b , os dois limites laterais vão ser 2 e 2 , respectivamente.

Eles são iguais, então o limite existe.

Resposta

c )

f x ∙ g x = x 4 + 3 x 2 s e x ≤ 1 2 x + 2 s e 1 < x

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