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Dados y = f ( u ) e u = g ( x ) , determine d y d x = f ' g x g ' x

y = 2 u 3

u = 8 x - 1

Passo 1

Esta é uma boa questão inicial sobre regra da cadeia, visto que já nos foi dado as funções separadas, isto é, f ( u ) e g ( x ) . Desta forma, para obtermos a derivada da função composta ( f ∘ g ) ( x ) , podemos derivar separadamente cada uma das funções. Só depois de obtermos as duas derivadas, podemos fazer a composição de funções f ' g x e a sua multiplicação por g ' ( x ) . Vamos começar então pela obtenção de cada uma das derivadas!

Passo 2

Vamos determinar a derivada da função f ( u ) . Sendo assim, temos:

y ' = f ' ( u ) = ( 2 u 3 ) '

y ' = 2 ⋅ 3 u 2

y ' = 6 u 2

Passo 3

Vamos determinar agora a derivada da função g ( x ) . Sendo assim, temos:

u ' = g ' x = 8 x - 1 '

g ' x = 8

Passo 4

Vamos fazer a composição de f ' u com g ( x ) , isto é, obter f ' g x . Para isto, basta substituir g x = 8 x - 1 em todo u na função f ' ( u ) . Portanto, temos:

f ' g x = f ' 8 x - 1 = 6 8 x - 1 2

f ' g x = 6 8 x - 1 2

Passo 5

O que nos falta é multiplicar f ' g x por g ' ( x ) para obtermos a derivada d y / d x . Portanto, a resposta final do nosso problema é:

d y d x = 6 8 x - 1 2 ⋅ 8 = 48 8 x - 1 2

Resposta

d y d x = 48 8 x - 1 2

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