Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 6.15 - Ex. 8

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desse livro

Dar um exemplo de uma função f , tal que o lim b → + ∞ ⁡ ∫ - b b f x d x existe, mas a integral imprópria ∫ - ∞ ∞ f x d x é divergente.

Passo 1

Vamos pegar uma função bem simples como exemplo.

Vai ser: f x = x .

Vamos calcular o limite dela...

lim b → + ∞ ⁡ ∫ - b b x   d x

= lim b → ∞ ⁡ x 2 2 - b b

= l i m b → ∞ b 2 2 - - b 2 2 = 0

Então o limite aqui existe, e é zero.

Passo 2

Vamos para a integral imprópria agora:

∫ - ∞ ∞ x   d x

∫ - ∞ 0 x   d x + ∫ 0 ∞ x   d x

Vamos calcular uma dessas integrais agora:

∫ 0 ∞ x   d x =   lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b x   d x

= l i m b → ∞ x 2 2 0 b  

=   l i m b → ∞ b 2 2 = + ∞

Ou seja, a integral diverge.

Então esse é um exemplo de função pedido😉

Resposta

f x = x

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