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Demonstre a fórmula onde m e n são números inteiros e positivos

∫ - π π sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x = 0 ,     s e   m ≠ n π ,     s e   m = n

Passo 1

Não vai ser tão complicado demonstrar isto, você so precisa lembrar da seguinte propriedade trigonométrica:

sin ⁡ A sin ⁡ B = 1 2 cos ⁡ A - B - c o s ⁡ ( A + B )

Então, substituindo na integral, temos

∫ - π π sin ⁡ m x sin ⁡ n x d x = ∫ - π π 1 2 cos ⁡ m x - n x - cos ⁡ m x + n x d x

Vamos analisar os dois casos possíveis:

  1. Se m ≠ n , temos
  2. ∫ - π π 1 2 cos ⁡ m x - n x - cos ⁡ m x + n x d x = 1 2 sin ⁡ m - n x m - n - sin ⁡ m + n x m + n - π π = 0

    Note que sin ⁡ k π = 0 para todo k inteiro, como m e n são números inteiros e positivos, temos que ( m - n ) e ( m + n ) é um numero inteiro, então sin ⁡ m - n x = 0 e s in ⁡ m + n x = 0

  3. Se m = n , temos

∫ - π π 1 2 cos ⁡ m x - n x - cos ⁡ m x + n x d x = ∫ - π π 1 2 cos ⁡ 0 - cos ⁡ m x + n x d x = ∫ - π π 1 2 1 - cos ⁡ m + n x d x = 1 2 x - sin ⁡ m + n x m + n - π π = 1 2 π - 0 - - π - 0 = 1 2 π + π = π

Note que sin ⁡ k π = 0 para todo k inteiro, como m e n são números inteiros e positivos, temos que ( m + n ) é um numero inteiro, então sin ⁡ m + n x = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x ,   s e   n for um inteiro positivo maior do que 1.
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ
Calcule a integral definida. ∫ 1 / 6 1 / 2 c o s s e c   π t   c o t g   π t   d t
Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x
Calcule a integral. ∫ s e n 6 π x   d x
Calcule a integral. ∫ s e n 6 x cos 3 ⁡ x   d x
Calcule a integral indefinida. ∫ tg - 1 ⁡ x 1 + x 2 d x
Calcule a integral. ∫ 1 + cos ⁡ θ 2   d θ
Calcule a integral. ∫ cos 2 ⁡ x   t g 3 x   d x
Calcule a integral ∫ 0 π 4 sec 4 ⁡ ( θ ) tan 4 ⁡ ( θ ) d θ
Calcule a integral ∫ 0 π 3 tan 5 ⁡ ( x ) sec 6 ⁡ ( x ) d x
Calcule a integral ∫ sin ⁡ ϕ cos 3 ⁡ ϕ d ϕ