Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.10 - Ex. 24
Demonstre que a série obtida no Exercício 12 representa para todo .
Passo 1
No exercício 12 encontramos a série
Para que essa série represente a função, precisamos provar que seu erro para todo , e nós conseguimos fazer isso usando a Desigualdade de Taylor que diz que se , então
Como o centro é
Passo 2
Para isso, precisamos saber como se comportam as derivadas de , se derivarmos varias vezes, chegaremos sempre em ou então de forma geral
ou
Pelas definições das funções hiperbólicas, tiramos que
Mas temos que para todo
Logo
Como precisa ser um valor constante, vamos pegar um valor que obedeça , então podemos dizer que
E podemos usar
Então na desigualdade temos
Passo 3
Agora só precisamos aplicar o limite, para calcularmos o erro em uma série infinita. Temos que para uma função do tipo
Como, . Então por comparação
Acamos de mostrar que para todo . Logo, a série
representa a função para todo .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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