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Demonstre o Teste da Raiz. [Sugestão para a parte (i): Tome qualquer número r tal que L < r < 1 e use o fato de que existe um inteiro N tal que a n n < r quando n ≥ N .]

Passo 1

(i) Pessoal, seguindo a dica do enunciado para a parte (i), nós obtemos, para n ≥ N :

a n n < r

a n < r n

Como a série geométrica ∑ n = 1 ∞ r n converge (já que temos 0 < r < 1 ), então a série ∑ n = N ∞ a n também converge, pelo Teste da Comparação.

Assim, a série ∑ n = 1 ∞ a n também converge, de forma que a série ∑ n = 1 ∞ a n é absolutamente convergente.

Passo 2

(ii) Se tivermos lim n → ∞ ⁡ a n n = L > 1 , então existe um inteiro N tal que a n n > 1 para todo n ≥ N , e então a n > 1 para n ≥ N .

Assim, lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0 , de forma que a série ∑ n = 1 ∞ a n diverge pelo Teste para Divergência.

Passo 3

(iii) Considere a série ∑ n = 1 ∞ 1 n , que diverge, e a série ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 , que converge. Para ambas as séries, teremos lim n → ∞ ⁡ a n n = 1 , o que mostra que o Teste da Raiz é inconclusivo nesse caso.

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Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1   n 1 4
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ - 1 n   n 4
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ 10 n n + 1 . 4 2 n + 1
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O que você pode dizer sobre a serie ∑ a n nos casos: a) lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 8 b)   lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 0,8 c)   lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1
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Uma serie ∑ a n e definida pelas equações: a 1 = 2       a n + 1 = 2 + cos ⁡ n n a n Determine se ∑ a n converge ou diverge.
Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: ∑ n = 1 ∞ - 1 n 1,1 n n 4