Enunciado

Resolva   y e x y d x d y + x e x y = 12 y 2 sujeito a y 0 = - 1 .

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

Bora resolver essa equação aí?

y e x y d x d y + x e x y = 12 y 2

Vamos fazer uma substituição, u = x y , aí teremos:

d u d y = x + y d x d y

Aí a gente vai substituir isso na nossa EDO...

Passo 2

Substituindo aqui:

y e x y d x d y + x e x y = 12 y 2

y e u d u d y - x y   + x e u = 12 y 2

e u d u d y - e u x + x e u = 12 y 2

e u d u d y = 12 y 2

e u d u = 12 y 2   d y

Show! Chegamos a uma EDO separável (já separada, na verdade)...

Passo 3

Agora a gente vai integrar dos dois lados pra resolver...

∫   e u   d u = ∫ 12 y 2   d y

e u = 4 y 3 + C

e u - 4 y 3 = C

Como u = x y , temos:

e x y - 4 y 3 = C

Passo 4

Agora vamos usar o nosso valor inicial y 0 = - 1 para descobrir o C :

e x y - 4 y 3 = C

e 0 - 4 - 1 3 = C

1 + 4 = C

C = 5

Então a solução do nosso PVI é:

e x y - 4 y 3 = 5

Resposta

e x y - 4 y 3 = 5

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