Enunciado

3 y ' ' + y = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que:

y ' ' + 1 3 y = 0

Fazendo 1 3 = k 2 (transformação que não faz diferença, mas nos ajuda a facilitar os cálculos)

Logo:

y ' ' + k 2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e λ t ;     y ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 + k 2 = 0

Vemos que a solução resulta num número imaginário

λ = ± i k

Logo (chamemos a variável de x):

y x = c 1 e i k x + c 2 e - i k x

Passo 3

Lembrando a relação de Euler- De Moivre: e i π = cos ⁡ π + i s e n π

y x = c 1 cos ⁡ k x + i s e n k x + c 2 cos ⁡ π - i s e n k x

y x = c 1 + c 2 cos ⁡ k x + i c 1 - c 2 s e n k x  

Fazendo c 1 + c 2 = a ;       i ( c 1 - c 2 ) = b

y x = a cos ⁡ k x + b   s e n k x

Lembrando k 2 = 1 3 → k = 1 3 = 1 3

Logo:

y x = a cos ⁡ x 3 + b   s e n x 3

Resposta

y x = a cos ⁡ x 3 + b   s e n x 3

Onde a e b   são determinados por PVI.

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