Responde Aí

Enunciado

y ' ' - 4 y ' + 5 y = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que:

y ' ' - 4 y ' + 5 y = 0

Façamos 4 = β ;     5 = k 2 (transformações que não fazem diferença, mas nos ajudam a facilitar os cálculos)

y ' ' - β y ' + k 2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e λ t ;       y ' = λ e λ t ;       y ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 - β λ + k 2 = 0

λ = β 2 ± β 2 2 - k 2

Chamemos λ + = β 2 + β 2 2 - k 2 ,           e λ - = β 2 - β 2 2 - k 2

Passo 3

Logo temos a solução (chamemos a variável de x):

y x = c 1 e λ + x + c 2 e λ - x

Lembrando de β 2 ± β 2 2 - k 2 que β = 4 ;     k 2 = 5

Logo: λ =   β 2 ± β 2 2 - k 2 = 2 ± 4 2 2 - 5 vemos que:

4 2 2 - 5 < 0

Logo: λ ∈ C

Assim:

λ = 2 ± i 5 - 4 2 2 = 2 ± i 1

De modo que: λ + = 2 + i 1 ;     λ - = 2 - i 1

Assim:

y x = c 1 e x 2 + i + c 2 e x 2 - i

y x = e 2 x c 1 e i x + c 2 e - i x

Para c 1 e i x + c 2 e - i x   usemos a relação de Euler- De Moivre: e i π = cos ⁡ π + i s e n π . Assim:

c 1 cos ⁡ x + i s e n x + c 2 cos ⁡ x - i s e n x

= c 1 + c 2 cos ⁡ x + i c 1 - c 2 s e n x  

Fazendo c 1 + c 2 = a ;       i ( c 1 - c 2 ) = b

= a cos ⁡ x + b   s e n x

Assim:

y x = e 2 x a cos ⁡ x + b   s e n x

Resposta

y x = e 2 x a cos ⁡ x + b   s e n x

Onde a e b   são determinados por PVI.