Enunciado

3 y ' ' + 2 y ' + y = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que:

y ' ' + 2 3   y ' + 1 3   y = 0

Façamos 2 3 = β ;   1 3 = k 2 (transformações que não fazem diferença, mas nos ajudam a facilitar os cálculos)

y ' ' + β y ' + k 2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e λ t ;       y ' = λ e λ t ;       y ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 + β λ + k 2 = 0

λ = -   β 2 ± β 2 2 - k 2

Chamemos λ + = -   β 2 + β 2 2 - k 2 ,           e λ - = -   β 2 - β 2 2 - k 2

Passo 3

Logo temos a solução (chamemos a variável de x):

y x = c 1 e λ + x + c 2 e λ - x

Lembrando de –   β 2 ± β 2 2 - k 2 que β = 2 3 ;     k 2 = 1 3

Temos que:

2 6 2 - 1 3   < 0

Logo λ ∈ C

Assim:

λ = -   β 2 ± i k 2 - β 2 2

λ = - 1 3 ± i 1 3 - 1 3 2

E que: λ + = - 1 3 + i 2 3 ;       λ - = - 1 3 - i 2 3

De forma que:

y x = c 1 e x - 1 3 + i 2 3 + c 2 e - x 1 3 + i 2 3

y x = e - x 3 c 1 e i x 2 3 + c 2 e - i x 2 3

Para c 1 e i x 2 3 + c 2 e - i x 2 3 usemos a relação de Euler- De Moivre: e i π = cos ⁡ π + i s e n π . Assim:

c 1 cos ⁡ x 2 3 + i   s e n x 2 3 + c 2 cos ⁡ x 2 3 - i   s e n ( x 2 3

c 1 + c 2 cos ⁡ x 2 3 + i c 1 - c 2 s e n x 2 3  

Fazendo c 1 + c 2 = a ;       i c 1 - c 2 = b

a cos ⁡ x 2 3 + b   s e n x 2 3

De modo que:

y x = e - x 3 a cos ⁡ x 2 3 + b   s e n x 2 3

Resposta

y x = e - x 3 a cos ⁡ x 2 3 + b   s e n x 2 3

Onde a e b   são determinados por PVI.

Exercícios de Livros Relacionados

Uma pessoa cujo peso é 5,20 10 2 N está sendo puxada para cima vertica
Uma pequena esfera é pendurada por uma corda no teto de uma van. Quand
Mostre que o comprimento de atenuação Λ é igual à distância média que
Deve-se usar a expressão relativística para a energia cinética do elét
Use os dados da figura 2-17 para calcular a espessura de uma lâmina de