Enunciado

y ' ' + 4 y = 0

y 0 = 0 ;       y π = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos:

y ' ' + 4 y = 0

Façamos 4 = k 2

y ' ' + k 2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e λ t ;     y ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 + k 2 = 0

λ = ± i k

Logo (chamemos a variável de x):

y x = c 1 e ( i k ) x + c 2 e ( - i k ) x

Passo 3

usemos a relação de Euler- De Moivre: e i π = cos ⁡ π + i s e n π . Assim:

y x = c 1 cos ⁡ k x + i   s e n k x + c 2 cos ⁡ k x - i   s e n k x

y x = c 1 + c 2 cos ⁡ k x + i c 1 - c 2 s e n k x  

Fazendo c 1 + c 2 = a ;       i ( c 1 - c 2 ) = b

y x = a cos ⁡ k x + b   s e n k x

Para achar a e b usemos as condições iniciais:

y 0 = 0 = a

y π = 0 = a cos ⁡ k π + b   s e n k π

Lembrando k 2 = 4 → k = 4 = 2

y π = a cos ⁡ 2 π + b   s e n 2 π = a + 0 → a = 0

E b fica uma valorl qualquer

Logo:

y x = b   s e n ( 2 x )

Resposta

y x = b   s e n ( 2 x )

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