Enunciado

y ' ' + y = 0

y ' 0 = 0 ;     y ' π 2 = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Temos que:

y ' ' + 1 y = 0

Façamos 1 = k 2

y ' ' + k 2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e λ t ;     y ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 + k 2 = 0

λ = ± i k

Logo (chamemos a variável de x):

y x = c 1 e ( i k ) x + c 2 e ( - i k ) x

Passo 3

usemos a relação de Euler- De Moivre: e i π = cos ⁡ π + i s e n π . Assim:

y x = c 1 cos ⁡ k x + i   s e n k x + c 2 cos ⁡ k x - i   s e n k x

y x = c 1 + c 2 cos ⁡ k x + i c 1 - c 2 s e n k x  

Fazendo c 1 + c 2 = a ;       i ( c 1 - c 2 ) = b

y x = a cos ⁡ k x + b   s e n k x

Para achar a e b usemos as condições iniciais:

y ' 0 = 0 = b k → b = 0

y ' π 2 = 0 = b k cos ⁡ k π 2

Lembrando k 2 = 1 → k = 1 = 1

y ' π 2 = 0 = 0 × 0 = 0

E temos a como um valor qualquer.

Logo:

y x = a   c o s ⁡ ( x )

Resposta

y x = a   c o s ⁡ ( x )

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