Responde Aí

Enunciado

y ' ' + 8 y ' + 16 y = 0

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

Façamos 8 = β ;     16 = k 2 (transformações que não fazem diferença mas nos ajudam a facilitar os cálculos)

y ' ' + β y ' + k 2 y = 0

Passo 2

Fazendo y = e λ t ;       y ' = λ e λ t ;       y ' ' = λ 2 e λ t

e λ t λ 2 + β λ + k 2 = 0

λ = β 2 ± β 2 2 - k 2

Chamemos λ + = -   β 2 + β 2 2 - k 2 ,           e λ - = -   β 2 - β 2 2 - k 2

Passo 3

Logo temos a solução (chamemos a variável de x):

y x = c 1 e λ + x + c 2 e λ - x

Lembrando de -   β 2 ± β 2 2 - k 2   que β = 8 ;     k 2 = 16

Logo: λ = -   β 2 ± β 2 2 - k 2 = - 8 2 ± 8 2 2 - 16 = - 8 2 ± 0 . E que λ + = - 4 ,           λ - = - 4

y x = c 1 e - 4 x + c 2 e - 4 x

y x = e - 4 x c 1 + c 2 x

As os dois termos com c 1 e c 2 devem ser linearmente independentes, para torná-las desse modo, adicionamos a variável.

Resposta

y x = e - 4 x c 1 + c 2 x

Onde c 1 e c 2 são definidos por PVI.