Enunciado

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Derivada de s e n   ( 2 x ) . Represente graficamente a função y = 2 cos ⁡ 2 x para - 2 ≤ x ≤ 3.5 . Depois, na mesma tela, faça o gráfico de

y = s e n 2 x + 2 h - s e n ( 2 x ) h

Para h = 1.0 ; 0.5   e   0.2 . Experimente outros valores de h , incluindo valores negativos. O que acontece h → 0 ? Explique este comportamento.

Passo 1

Esta é uma questão que necessita de recursos tecnológicos. Precisamos obter os gráficos de múltiplas funções para entender o que acontece a medida em que diminuímos o valor de h . Além disto, a questão nos diz para testar outros valores aleatórios de h , a fim de que tenhamos certeza do que ocorre com a função. Esta intepretação vai surgir naturalmente a partir do momento em que observarmos as curvas. Entretanto, para poder explicar melhor o fenômeno por trás, vamos relembrar como obtemos a derivada de uma função f ( x ) pela definição. Para isto, calculamos o seguinte limite:

lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Agora que relembramos este conceito, vamos direto as contas!

Passo 2

O nosso ponto de partida é obter o gráfico das funções y = 2 cos ⁡ 2 x e o gráfico da função

y = f ( x ) = s e n 2 x + 2 h - s e n ( 2 x ) h

Quando h = 1 ; 0.5 e 0 . 2 . Sendo assim, temos:

Passo 3

A medida em que diminuímos o valor de h , podemos ver que as curvas 2 cos ⁡ ( 2 x ) da função f ( x ) tendem a se sobrepor. Logo, quando h → 0 +

f x → 2 cos ⁡ 2 x

Passo 4

Vamos confirmar o que acontece quando h → 0 - e um número bem próximo de 0 + . Para isto, vamos fazer h = - 1.0 ; - 0.1   e   0.01 . Sendo assim, temos o seguinte gráfico:

Passo 5

Confirmamos agora que a nossa função f ( x ) nada mais é que a definição de derivada. Inclusive, a curva em que h = 0.01 encontra-se totalmente sobreposta do gráfico da função y = 2 cos ⁡ ( 2 x ) . Portanto, quando h → 0 , temos a derivada da função s e n   ( 2 x ) , que é a função 2   c o s ⁡ ( 2 x ) .

Resposta

Quando h → 0 , temos a derivada da função s e n   ( 2 x ) , que é a função 2   c o s ⁡ ( 2 x ) .

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