Enunciado

A derivada direcional da função w = f ( x , y ) em P 0 1,1 na direção do vetor P 0 P 1 → , P 1 1,2 , é 2, e na direção do vetor P 0 P 2 → , P 2 2,0 , é 4. Quanto vale ∂ w ∂ s em P 0 na direção do vetor P 0 0 → , onde 0 é a origem?

Passo 1

Para acharmos a derivada na direção do vetor v → vamos usar aquela relação lá da teoria, se liga só:

∂ f ∂ v x , y = ∇ f x , y ⋅ v v

Passo 2

Inicialmente ele nos disse que a derivada direcional de w no ponto 1,1 na direção P 0 P 1 → é 2. Então vamos lá:

P 0 P 1 → = P 1 - P 0

Como P 0 = 1,1 e P 1 = 1,2 :

P 0 P 1 → = 1,2 - 1,1

Logo,

P 0 P 1 → = 0,1

Usando a expressão do Passo 1:

∂ f ∂ P 0 P 1 1 , 1 = ∇ f 1 , 1 ⋅ 0,1 0,1

Como essa derivada direcional vale 2:

2 = ∇ f 1,1 ⋅ 0,1 1

Portanto,

∇ f 1,1 ⋅ 0,1 = 2

Passo 3

Além disso, ele nos disse que na direção do vetor P 0 P 2 → , P 2 2,0 , essa derivada vale 4 . Então vamos fazer o mesmo processo!

P 0 P 2 → = P 2 - P 0

Assim,

P 0 P 2 → = 2,0 - 1,1

Logo,

P 0 P 2 → = 1 , - 1

Usando a formula do Passo 1:

∂ f ∂ P 0 P 2 1,1 = ∇ f 1,1 ⋅ 1 , - 1 1 , - 1

Arrumando o denominador e usando que essa derivada é 4:

4 = ∇ f 1,1 ⋅ 1 , - 1 1 2 + - 1 2

Portanto,

∇ f 1,1 ⋅ 1 , - 1 = 4 2

Passo 4

Para finalizar, vamos verificar o valor da derivada na direção P 0 0 → . Vem comigo!

P 0 0 → = 0,0 - 1,1

Assim,

P 0 0 → = - 1 , - 1

Agora vamos ver como fica a derivada direcional.

∂ f ∂ P 0 0 1,1 = ∇ f 1,1 ⋅ - 1 , - 1 - 1 , - 1

Como - 1 , - 1 = 2 :

∂ f ∂ P 0 0 1,1 = ∇ f 1,1 ⋅ - 1 , - 1 2

Passo 5

Repare que agora temos que usar as informações dos Passos 2 e 3 para encontrar o numerador.

∇ f 1,1 ⋅ 0,1 = 2     i

∇ f 1,1 ⋅ 1 , - 1 = 4 2     i i

Somando as duas expressões:

∇ f 1,1 ⋅ 0,1 + 1 , - 1 = 2 + 4 2

Logo,

∇ f 1,1 ⋅ 1,0 = 2 + 4 2     i i i

Como queremos descobrir ∇ f 1,1 ⋅ - 1 , - 1 , podemos somar i e i i i .

∇ f 1,1 ⋅ 0,1 + ∇ f 1,1 ⋅ 1,0 = 2 + 2 + 4 2  

Colocando ∇ f 1,1 em evidencia, temos:

∇ f 1,1 ⋅ 1,1 = 4 + 4 2

Multiplicando por - 1 dos dois lados:

∇ f 1,1 ⋅ - 1 , - 1 = - 4 - 4 2

Agora é só voltar para expressão que queremos encontrar!

∂ f ∂ P 0 0 1,1 = ∇ f 1,1 ⋅ - 1 , - 1 2

Substituindo o valor de ∇ f 1,1 ⋅ - 1 , - 1 :

∂ f ∂ P 0 0 1,1 = - 4 - 4 2 2

Portanto,

∂ f ∂ P 0 0 1,1 = - 2 2 - 4

Resposta

∂ f ∂ P 0 0 1,1 = - 2 2 - 4

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