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Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - Capítulo 7.11 - Ex. 4c

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Derive.

y = e - x sen ⁡ x

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra do produto:

f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' x f x

Temos que:

f x = e - x

e

g x = sen ⁡ x

e - x sen ⁡ x ' = f ' x g x + g ' x f x = e - x ' ⋅ sen ⁡ x + sen ⁡ x ' ⋅ e - x

Passo 2

Para calcular as derivadas vamos usar a regra da função exponencial, da função trigonométrica e do polinômio, além da regra da cadeia, que já está aplicada em algumas fórmulas:

e f x ' = e f x ⋅ f ' ( x )

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

x n ' = n x n - 1

y ' = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 3

Para calculcar f ' x vamos usar a regra da função exponencial e do polinômio:

f ' ( x ) = e - x ' = e - x ⋅ - x ' = e - x ⋅ - x 1 - 1 = e - x ⋅ - x 0 = e - x ⋅ - 1 = - e - x

Com g ' ( x ) usamos a regra da função trigonométrica:

g ' x = sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

y ' = e - x sen ⁡ x ' = e - x ' ⋅ sen ⁡ x + sen ⁡ x ' ⋅ e - x = - e - x ⋅ sen ⁡ x + cos ⁡ x ⋅ e - x = e - x - sen ⁡ x + cos ⁡ x

Resposta

y ' = e - x - sen ⁡ x + cos ⁡ x

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