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Derive.

f t = t e 2 t ln ⁡ 3 t + 1

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da divisão:

f ' t = g ' t h t - g t h ' t h t 2

Onde:

g t = t e 2 t

e

h t = ln ⁡ 3 t + 1

Assim temos então que:

t e 2 t ln ⁡ 3 t + 1 ' = g ' t h t - g t h ' t h t 2 = t e 2 t ' ln ⁡ 3 t + 1 - t e 2 t ln ⁡ 3 t + 1 ' ln ⁡ 3 t + 1 2

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função exponencial, da função constante, função logarítmica natural e do polinômio, além da regra da cadeia:

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

c ' = 0

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

x n ' = n x n - 1

y ' = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 3

Primeiro vamos calcular g ' t , vamos ter que usar a regra do produto:

r t s t ' = r ' t s t + s ' t r t

Com:

r t = t

s t = e 2 t

Vamos calcular:

g ' t = t e 2 t ' = r ' t s t + s ' t r t

g ' t = t ' e 2 t + e 2 t ' t = t 1 - 1 ⋅ e 2 t + e 2 t ⋅ 2 t ' ⋅ t

g ' t = t 0 ⋅ e 2 t + e 2 t ⋅ 2 t 1 - 1 ⋅ t = 1 ⋅ e 2 t + e 2 t ⋅ 2 t 0 ⋅ t

g ' t = e 2 t + e 2 t ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ t = e 2 t + 2 t e 2 t

g ' t = e 2 t 1 + 2 t

Agora para h ' t :

h ' t = ln ⁡ 3 t + 1 ' = 1 3 t + 1 ⋅ 3 t + 1 ' = 1 3 t + 1 ⋅ 3 t 1 - 1 + 0 = 1 3 t + 1 ⋅ 3 t 0 = 1 3 t + 1 ⋅ 3 ⋅ 1 = 3 3 t + 1

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

f ' t = t e 2 t ln ⁡ 3 t + 1 ' = t e 2 t ' ln ⁡ 3 t + 1 - t e 2 t ln ⁡ 3 t + 1 ' ln ⁡ 3 t + 1 2 = e 2 t 1 + 2 t ln ⁡ 3 t + 1 - t e 2 t ⋅ 3 3 t + 1 ln 2 ⁡ 3 t + 1 = e 2 t 1 + 2 t ln ⁡ 3 t + 1 - 3 t e 2 t 3 t + 1 ln 2 ⁡ 3 t + 1

Resposta

f ' t = e 2 t 1 + 2 t ln ⁡ 3 t + 1 - 3 t e 2 t 3 t + 1 ln 2 ⁡ 3 t + 1

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Nos Exercícios 51-70, determine d y d t . 59. y =   ( t 2 t 3 - 4 t ) ³