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Desenhe um esboço do gráfico da equação x 2 3 + y 2 3 = 1 .   ( Sugestão: o gráfico não é aquele de uma função. Entretanto, a parte no primeiro quadrante é o gráfico de uma função. Obtenha essa porção e então complete o gráfico por simetria. A concavidade desempenha um papel importante.).

Passo 1

Para começar podemos isolar y, quando x > 0   e   y ≥ 0 :

y 2 3 = 1 - x 2 3

y = 1 - x 2 3 3 2

Sendo assim, y está definido para 0 ≤ x ≤ 1 . Diferenciando com relação a x:

y ' = 3 2 1 - x 2 3 1 2 . - 2 3 x - 1 3 = - x - 1 3 . 1 - x 2 3 1 2

Então, y ' é negativo e, consequentemente, o gráfico decresce no intervalo de 0 ≤ x ≤ 1 . Analisando,

lim x → 0 + ⁡ y ' = - ∞

Sendo assim, quando x se aproxima de 0 o gráfico possui uma reta vertical no ponto (0,1). Por simetria, o gráfico apresenta uma reta tangente horizontal no ponto (1,0).

O próximo passo é obter a derivada segunda:

y ' ' = 1 3 x - 4 3 . 1 - x 2 3 1 2 - x - 1 3 . 1 2 . 1 - x 2 3 - 1 2 . - 2 3 x - 1 3

Reorganizando:

y ' ' = x - 4 3 3 .   1 - x 2 3 - 1 2

Sendo assim, no intervalo 0 ≤ x ≤ 1 y ' ' > 0 ,   ou seja, a concavidade é voltada para cima no primeiro quadrante.

Agora, precisamos desenhar o gráfico da função. Como dito no enunciado, a parte do primeiro quadrante é o gráfico da função, e nós já descobrimos que a concavidade é voltada para cima e a função é decrescente. Sabendo que o gráfico é simétrico aos eixos x e y, temos:

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Se p for ponto de inflexão de f e se f ' p ≠ 0 , então diremos que p é ponto de inflexão oblíquo de f . Cite uma condição suficiente para que p seja ponto de inflexão oblíquo de f ...
Se p for ponto de inflexão de f e se f ' p = 0 , então diremos que p é ponto de inflexão horizontal de f . Cite uma condição suficiente para que p seja ponto de inflexão horizontal...
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