Enunciado

Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da seguinte função:

f x = t g   x

Passo 1

Vamos procurar as assíntotas horizontais e verticais da função. Pra encontrar as horizontais, é molezinha: vamos fazer o limite da função com x tendendo ao infinito e a menos infinito. O valor que encontrarmos será o y da reta que é a assíntota horizontal. Bom, mas já vamos parar por aqui e analisar: qual é o limite da tangente quando o x tende ao infinito? Não dá pra saber, porque a função é trigonométrica, e portanto, limitada! Daí já podemos dizer que não tem assíntota horizontal.

Passo 2

Para a assíntota vertical, a gente vai buscar os valores que levam a função pro infinito, tanto faz se pro lado positivo ou negativo. Pra isso a gente vai catar lá nos valores que a gente vê que tem um comportamento diferente. Bom, nessa questão dá pra ver que tem alguma coisa no x = π 2 e no x = 3 π 2 , né? Vamos calcular os limites nesse x então!

Para x → π 2 + :

lim x → π 2 + ⁡ t g   x = …

Nesse caso o x está vindo de um valor maior que o π 2 , então ele está vindo do segundo quadrante. Nesse quadrante, a tangente é negativa! Portanto,

lim x → π 2 + ⁡ t g   x = - ∞

Para x → π 2 - :

lim x → π 2 - ⁡ t g   x = …

Nesse caso o x está vindo de um valor menor que o π 2 , então ele está vindo do primeiro quadrante. Nesse quadrante, a tangente é positiva! Portanto,

lim x → π 2 - ⁡ t g   x = + ∞

Portanto, a gente tem uma assíntota vertical em x = π 2 .

Para x → 3 π 2 + :

lim x → 3 π 2 + ⁡ t g   x = …

Nesse caso o x está vindo de um valor maior que o 3 π 2 , então ele está vindo do quarto quadrante. Nesse quadrante, a tangente é negativa! Portanto,

lim x → 3 π 2 + ⁡ t g   x = - ∞

Para x → 3 π 2 - :

lim x → 3 π 2 - ⁡ t g   x = …

Nesse caso o x está vindo de um valor menor que o 3 π 2 , então ele está vindo do terceiro quadrante. Nesse quadrante, a tangente é positiva! Portanto,

lim x → 3 π 2 - ⁡ t g   x = + ∞

E assim, a gente tem uma assíntota vertical em x = 3 π 2 .

Passo 3

Mas se liga, quem é que disse que o x é um ângulo da primeira volta do círculo trigonométrico? Ele pode estar em qualquer uma! Se a gente partir do ângulo π 2 , tá vendo que é só a gente somar ou subtrair π que a gente chega em outra assíntota, já que o ângulo vai ser o mesmo (trigonometricamente falando)? Então as assíntotas podem ser escritas generalizadas como:

x = π 2 + k π

Onde k é um número inteiro qualquer! Sacou?

Resposta

As assíntotas são x = π 2 + k π , k ∈ Z .

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