Enunciado

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Determinar os máximos e mínimos das seguintes funções, nos intervalos indicados.

e) f x = x 1 + x 2 ,   - 2 ,   2

Passo 1

Então pessoal, para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Tendo isso em vista, devemos inicialmente descobrir os pontos críticos da função pela derivada primeira e, em seguida, analisar esses pontos críticos na função f de fato. Fica tranquilo, vamos passo a passo!

Derivando nossa função, teremos:

f x = x 1 + x 2

f ' x = 1 . x 2 + 1 - x . 2 x x 2 + 1 2 = x 2 + 1 - 2 x ² x 2 + 1 2

∴ f ' x = - x 2 + 1 x 2 + 1 2

Passo 2

Agora que encontramos nossa derivada, igualando-a a zero, teremos:

f ' x = - x 2 + 1 x 2 + 1 2 = 0

Esse resultado só é válido para:

- x 2 + 1 x 2 + 1 2 = 0

- x 2 + 1 = 0

x 2 = 1 ∴ x = ± 1

Sendo assim, x = 1 e x = - 1 são pontos críticos da nossa função! Ademais, como foi o nosso intervalo foi estabelecido em - 2 ,   2 e como acabamos de descobrir que x = 1 e x = - 1 são pontos críticos, vamos substituir esses valores na função para determinar os máximos e mínimos, se liga:

f - 2 = - 2 1 + - 2 2 = - 2 5

f - 1 = - 1 1 + - 1 2 = - 1 2

f 1 = 1 1 + 1 ² = 1 2

f 2 = 2 1 + 2 ² = 2 5

Portanto, pelos resultados:

Máximo da função ( x ,   y ) em - 2 ,   2 : 1 , 1 2 ;

Mínimo da função ( x ,   y ) em - 2 ,   2 : - 1 ,   - 1 2 .

E estão aí nossos máximos e mínimos!

Resposta

Máximo da função ( x ,   y ) em - 2 ,   2 : 1 , 1 2 ;

Mínimo da função ( x ,   y ) em - 2 ,   2 : - 1 ,   - 1 2 .

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