Enunciado

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Determinar os máximos e mínimos das seguintes funções, nos intervalos indicados.

i) f x = cos ⁡ 3 x ,   0 ,   2 π

Passo 1

Então pessoal, para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Tendo isso em vista, devemos inicialmente descobrir os pontos críticos da função pela derivada primeira e, em seguida, analisar esses pontos críticos na função f de fato. Fica tranquilo, vamos passo a passo!

Derivando nossa função, teremos:

f x = cos ⁡ 3 x

f ' x = - 3 . s e n   3 x

Passo 2

Agora que encontramos nossa derivada, igualando-a a zero, teremos:

f ' x = - 3 . s e n   3 x = 0

Como o intervalo que nos foi dado é apenas para uma volta, esse resultado só é válido para:

- 3 . s e n   3 x = 0

s e n   3 x = 0 ∴ x = 0 ,   x = π 3 ,   x = 2 π 3 ,   x = 3 π 3 ,   x = 4 π 3 ,   x = 5 π 3   o u   x = 2 π

Sendo assim, esses valores de x que encontramos aí em cima são pontos críticos da nossa função! Ademais, como nosso intervalo foi definido em 0 ,   2 π , então basta substituirmos os pontos críticos na nossa função original para determinar os máximos e mínimos, se liga:

f 0 = cos ⁡ 3.0 = 1

f π 3 = cos ⁡ 3 . π 3 = - 1

f 2 π 3 = cos ⁡ 3 . 2 π 3 = 1

f 3 π 3 = cos ⁡ 3 . 3 π 3 = - 1

f 4 π 3 = cos ⁡ 3 . 4 π 3 = 1

f 5 π 3 = cos ⁡ 3 . 5 π 3 = - 1

f 2 π = cos ⁡ 3.2 π = 1

Passo 3

Ufa! Depois de todos esses valores encontrados, temos que os máximos e mínimos são:

f 0 = f 2 π 3 = f 4 π 3 = f 2 π = 1 são pontos de Máximo;

f π 3 = f 3 π 3 = f 5 π 3 = - 1 são pontos de Mínimo.

E essa é a nossa resposta, galera! 😉

Resposta

f 0 = f 2 π 3 = f 4 π 3 = f 2 π = 1 são pontos de Máximo;

f π 3 = f 3 π 3 = f 5 π 3 = - 1 são pontos de Mínimo.

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