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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital.

lim x → + ∞ ⁡ 7 x 5 - 6 4 x 2 - 2 x + 4

Passo 1

O limite que ele nos pede para calcular é o seguinte:

L = lim x → + ∞ ⁡ 7 x 5 - 6 4 x 2 - 2 x + 4

Repare que podemos desprezar o - 6 em relação ao 7 x 5 quando x → ∞ . A mesma coisa ocorre para o termo - 2 x + 4 em relação ao 4 x 2 . Assim,

L = lim x → + ∞ ⁡ 7 x 5 4 x 2

Agora vamos fazer x = ∞ para ver se isso já resolve o limite. Então vamos lá!

L = 7 × ∞ 5 7 × ∞ 2

Logo,

L = ∞ ∞

Opa, chegamos numa indeterminação do tipo ∞ / ∞ . Então vamos aplicar a regra de L’Hospital

Passo 2

O limite que ele nos deu foi o seguinte:

L = lim x → + ∞ ⁡ 7 x 5 4 x 2

Pela regra de L’Hospital, podemos derivar em cima e embaixo que o limite continua o mesmo. Derivando,

L = lim x → + ∞ ⁡ 5 × 7 x 4 2 × 4 x

Se fizermos x = ∞   :

L = 5 × 7 × ∞ 4 2 × 4 × ∞

Assim,

L = ∞ ∞

Eita, caímos numa indeterminação de novo, então vamos aplicar a regra de L’Hospital mais uma vez.

Passo 3

Derivando em cima e embaixo novamente:

L = lim x → + ∞ ⁡ 4 × 35 x 3 8

Assim,

L = lim x → + ∞ ⁡ 35 x 3 2

Fazendo x = ∞ :

L = 35 × ∞ 2  

Portanto,

L = ∞

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ 7 x 5 - 6 4 x 2 - 2 x + 4 = ∞

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