Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Capítulo 4.10 - Ex. 2

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desse livro

Determinar d z d t , usando a regra da cadeia

z   = t g x 2 + y ,   x = 2 t   ,   y = t 2

Passo 1

A regra da cadeia é usada para derivar uma função composta para funções de uma variável, se y   =   f x   e   x = h ( t ) tem se

d y d t = d f x d x . d x d t

Se ambas f   e   h   forem deriváveis. Para funções de duas variáveis, tem se como 1º caso , o seguinte:

Suponha z   =   f ( x , y ) diferncialvel em x e y e de modo que x = g t e y   = h t diferenciáveis em t. Então z é diferenciável em t de forma que

d z d t = ∂ z ∂ x . d x d t + ∂ z ∂ y . d y d t

Passo 2

Para a função da nossa questão temos:

d f x , y d t = ∂ f x , y ∂ x . d x ( t 0 ) d t + ∂ f x , y ∂ y . d y t 0 d t

∂ f x , y ∂ x = 2 x s e c 2 ( x 2 + y )

∂ f x , y ∂ y = s e c 2 ( x 2 + y )

d x ( t ) d t = 2

d y t d t = 2 t  

Passo 3

Substituindo as equações encontradas na fórmula da regra da cadeia do 1º caso

d f x , y d t =   2 x s e c 2 ( x 2 + y ) ×   2 + s e c 2 ( x 2 + y ) ×   2 t =

= s e c 2 ( x 2 + y ) ( 4 x + 2 t )

Deixando tudo numa só variável (t)

= ( sec 2 ⁡ ( 5 t 2 ) ) ( 10 t )

Resposta

( sec 2 ⁡ ( 5 t 2 ) ) ( 10 t )

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