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Determine d y / d x :

y = ∫ - 1 x 1 π s e n - 1 t   d t

Passo 1

Vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema diz que se exitir uma função f contínua em um certo intervalo [ a , b ] , então F x = ∫ a x f t d t é contínua em [ a , b ] e derivável em a , b e sua derivada f ( x ) é dada por:

F ' x = d d x   ∫ a x f t d t = f ( x )

Contudo, neste caso, o limite superior de integração não é x , mas x 1 π . Isso torna y uma composição de duas funções:

y = ∫ - 1 u s e n - 1 ( t ) d t                                     e                                               u = x 1 π

Observe que é como se estivéssemos aplicando a regra da substituição para os limites de integração.

Passo 2

Devemos, portanto, aplicar a regra da cadeia quando determinamarmos d y / d x .

d y d x = d y d u × d u d x

Assim, temos:

F ' x = d y d x = d d x ∫ - 1 u s e n - 1 t d t × d u d x = s e n - 1 u × x π 1 - π π = s e n - 1 x 1 π x 1 - π π π

Resposta

s e n - 1 x 1 π x 1 - π π π

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