Enunciado

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Determine a área entre a curva y = l n x , y = l n 2 x de x = 1 até x = 5 .

Passo 1

Perceba que inicialmente esboçar o gráfico para identificar qual a função que está acima e qual está abaixo, parece uma boa ideia. Já que pela definição

A = ∫ a b f x - g x d x

Ou seja, área da região entre as curvas, é a integral da função de cima f ( x ) menos a função de baixo g x .

Passo 2

Esboçando o gráfico da função, seja por um software, ou substituindo alguns valores em cada umas das funções para obter pontos, teremos um gráfico como esse ou parecido,

Onde, pelo que podemos ver em parte de 1 até 5 y = l n ( 2 x )     é a função que está por cima , y = l n ( x )   é a função que está por baixo e a parte hachurada é região que desejamos calcular a área. Sendo assim a integral será:

∫ 1 5 ln ⁡ 2 x - l n ( x ) d x

Cujos limites de integração foram obtidos no enunciado.

Passo 3

Antes de calcularmos a integral vamos relembrar que   ∫ a b l n ( x )   d x

É resolvida utilizando integração por partes, ou seja, suponha que u = l n ( x )   então d u = 1 x   d x .Além disso, suponha, d v = 1 d x ⇒ v = x . Sendo assim,

∫ a b u   d v = u v ​ a b - ∫ a b v   d u = l n x x ​ a b -   ∫ a b x   .   1   x   d x

=   x l n x ​ a b -   ∫ a b 1   d x = x   l n x ​ a b - x ​ a b = [ x l n x - x ] ​ a b

Então,

∫ a b l n ( x )   d x = [ x l n x - x ] ​ a b

Passo 4

Já que já encontramos a “cara” integral que para determinar a área, então vamos partir para os cálculos e ver quando essa integral vai dar. Mas para não nos confundirmos vamos calcular cada uma separadamente,

Usando a regra da subtração (a integral da subtração é a subtração das integrais)

∫ 1 5 ln ⁡ 2 x - l n ( x ) d x = ∫ 1 5 ln ⁡ 2 x d x - ∫ 1 5 l n ( x ) d

Resolvendo a integral 1

∫ 1 5 ln ⁡ 2 x d x

Utilizando substituição, suponha que u = 2 x   então d u = 2   d x ⇒ d x = 1 2 d u .Além disso quando x = 1   ⇒ u = 2.1 = 2   e quando x = 5 ⇒   u = 2   .   5   = 10 . Sendo assim

∫ 1 5 ln ⁡ 2 x d x = ∫ u = 2 u = 10 ln ⁡ u     1 2   d u

Usando a regra da constante (integral da constante é a constante vezes a integral).

∫ 1 5 ln ⁡ 2 x d x = ∫ u = 2 u = 10 ln ⁡ u     1 2   d u = 1 2   ∫ u = 2 u = 10 ln ⁡ u   d u = 1 2 u l n u ​ u = 2 u = 10 - u ​ u = 2 u = 10

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo Parte II,

∫ 1 5 ln ⁡ 2 x d x = 1 2 u l n u ​ u = 2 u = 10 - u ​ u = 2 u = 10 = 1 2   10 l n 10 - 10 - 2 l n 2 - 2 = 1 2   10 l n 10 - 10 -   2 l n 2 + 2 = 1 2   10 l n 10 -   2 l n 2 - 8 = 1 2 . 10 l n 10 -   1 2 . 2 l n 2 - 1 2 . 8 = 5 l n 10 - ln ⁡ 2 - 4

Logo, a integral 1

∫ 1 5 ln ⁡ 2 x d x = 5 l n 10 - ln ⁡ 2 - 4

Resolvendo a integral 2

∫ 1 5 ln ⁡ x d x = x l n x - x ​ 1 5

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo Parte II,

∫ 1 5 ln ⁡ x d x = x l n x - x ​ 1 5 = 5 l n 5 - 5 - 1 l n 1 - 1 = 5 l n 5 - 5 - 1   .   0 - 1 = 5 l n 5 - 5 - 0 - 1 = 5 l n 5 - 5 + 1 = 5 l n 5 - 4

Logo, a integral 2

∫ 1 5 l n ( x ) d x = 5 l n 5 - 4

Portanto,

∫ 1 5 ln ⁡ 2 x - l n ( x ) d x = 5 l n 10 - ln ⁡ 2 - 4 - [ 5 l n 10 - ln ⁡ 2 - 4 ]

Resposta

Área da região entre y = ln ⁡ 2 x   , y = l n x   quando 1 ≤ x ≤ 5 é igual à 5 l n 10 - ln ⁡ 2 - 4 - [ 5 l n 10 - ln ⁡ 2 - 4 ] .

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