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Determine a área total entre a região e o eixo x.

y =   x 3 - 3 x 2 + 2 x ,       0 ≤ x ≤ 2  

Passo 1

Para determinar a área entre o gráfico de y = f ( x ) e o eixo x no intervalo dado, devemos primeiro subdividir esse intervalo em outros intervalos com as raízaes de f .

Determinando então as raízes de f , temos:

f x = 0 ⇒   x 3 -   3 x 2 + 2 x = 0 ⇒   x x 2 - 3 x + 2 = 0 ⇒ x ( x - 2 ) ( x - 1 ) = 0

x ' = 0               x ' ' = 1                 x ' ' ' = 2

Passo 2

Agora devemos integrar f em cada subintervalo e a substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Lembre-se também que integração polinomial é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Assim, para f ≤ 0   0,1 e para f ≥ 0     1,2 :

∫ 0 1 x 3 -   3 x 2 + 2 x d x = x 4 4 - x 3 + x 2 1 0 = 1 4 - 1 + 1 - 0 = 1 4

∫ 1 2 x 3 - 3 x 2 + 2 x d x = x 4 4 - x 3 + x 2 2 1 = 4 - 8 + 4 - 1 4 - 1 + 1 = 0 - 1 4 =   - 1 4

Passo 3

Por fim, a área total é obtida pela adição dos valores absolutos das integrais calculadas. Logo:

A = 1 4 + - 1 4 = 2 4 = 1 2

Passo 4

Resposta

1 2

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