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Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ 0 ∞ x x 2 + 2 2 d x

Passo 1

Para calcular essa integral vamos usar a Definição de uma Integral Imprópria do Tipo 1:

∫ 0 ∞ x x 2 + 2 2 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t x x 2 + 2 2 d x

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos uma expressão com x 2 no denominador e x no numerador, podemos tentar fazer com que u seja a expressão de x 2 , assim:

u = x 2 + 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 x + 0   d x = 2 x   d x →   x d x = d u 2

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ x x 2 + 2 2 d x = ∫ 1 2 u 2 d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Vamos aplicar:

∫ x x 2 + 2 2 d x = ∫ 1 2 u 2 d u = 1 2 ∫ u - 2 d u = 1 2 u - 2 + 1 - 2 + 1 + C = 1 2 u - 1 - 1 + C = - 1 2 u + C

Passo 3

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x x 2 + 2 2 d x = - 1 2 u + C = - 1 2 ( x 2 + 2   + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

∫ 0 ∞ x x 2 + 2 2 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t x x 2 + 2 2 d x = lim t → ∞ ⁡ - 1 2 x 2 + 2   0 t = lim t → ∞ ⁡ - 1 2 t 2 + 2   - - 1 2 0 2 + 2   = lim t → ∞ ⁡ - 1 2 t 2 + 4   + 1 4 = 1 4

A integral converge, pois o limite existe.

Resposta

Converge e tem valor ∫ 0 ∞ x x 2 + 2 2 d x = 1 4

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