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Determine a derivada no Exercício d d ϴ ∫ 0 t g ϴ s e c 2 y   d y

a. calculando a integral e derivando o resultado.

b. derivando a integral diretamente.

Passo 1

A questão nos pede que calculemos a derivada de uma integral definida por dois modos:

  1. Primeiro integrando e depois derivando
  2. Derivando direto, para isso é preciso lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo em que d d x ∫ a b f ( x ) ⁡ d x = f b . ( b ) '

Passo 2

Vamos resolver primeiro a letra “a” e resolver primeiro a integral:

∫ 0 t g ϴ s e c 2 y   d y = t g   y 0 t g ϴ

= t g   ( t g ϴ ) - t g 0

= t g   ( t g ϴ ) - 0

= t g   ( t g ϴ )

Em seguida derivamos usando a regra da cadeia:

d d ϴ t g   t g ϴ = d d x t g   t g ϴ . d d x   t g ϴ

= s e c 2 ( t g ϴ ) . s ec 2 ⁡ ϴ

Passo 3

Agora iremos derivar direto usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

d d ϴ ∫ 0 t g ϴ s e c 2 y   d y = s e c 2 ( t g ϴ ) . t g ϴ '

= s e c 2 ( t g ϴ ) . s ec 2 ⁡ ϴ

Resposta

d d ϴ ∫ 0 t g ϴ s e c 2 y   d y = s e c 2 ( t g ϴ ) . s ec 2 ⁡ ϴ

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