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Determine a derivada da função y = ( 1   +   t 2 )   c o t g - 1 2 t

Passo 1

Apliquemos a regra da multiplicação da derivada. Temos duas funções compostas em função de t. Deve-se então aplicar a regra da cadeia em ambos os termos. Assim:

d y d t = d d t ( 1   +   t 2 )   c o t g - 1 2 t = d d t ( 1   +   t 2 ) ⋅   c o t g - 1 2 t   + ( 1   +   t 2 )   ⋅ d   d t c o t g - 1 2 t

Passo 2

A primeira derivada pode ser resolvida aplicando a regra da soma:

d d t ( 1   +   t 2 ) = d d t 1 + d d t   t 2 = 0 + 2 ⋅ t 2 - 1 = t

Passo 3

Já a segunda derivada podemos resolver aplicando a relação:

d   d t c o t g - 1 2 t = ( - 1 ) 1 1 + 4 t 2 d d t ( 2 t ) = ( - 1 ) 1 1 + 4 t 2 ⋅ 2

Resposta

Reescrevendo:

d y d t = 2 t ⋅ c o t g - 1 2 t   -   2 ( 1   +   t 2 ) 1 + 4 t 2

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Nos Exercícios 51-70, determine d y d t . 59. y =   ( t 2 t 3 - 4 t ) ³