Enunciado

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Determine dy.

y = t g - 1 ( e x 2 )

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função de y em x.

Primeiramente, o que é t g - 1 ? Vamos lá, sempre que elevamos algo a -1 determinamos a inversa, certo?

Então, t g - 1 nada mais é que a função inversa da tangente, a arco tangente.

Vamos reescrever a função então...

y = a r c t g   ( e x 2 )

Ah, agora tá melhor né? Sem mais delongas, a derivada da função arco tangente é dada por:

a r c t g   ( x ) ' = 1 1 + x 2

É claro que isso para funções simples, no nosso caso é uma função composta e usaremos a Regra da Cadeia. Vamos derivar de fora pra dentro.

Passo 2

Derivando pela Regra da Cadeia, teremos:

y ' = 1 ( 1 + e x 2 2 ) × ( e x 2 ) '

Derivando a exponencial...

y ' = 1 1 + e x 2 2   × e x 2 × 2 x

Resposta

Assim, a derivada final é:

d y =   e x 2   × 2 x 1 + ( e 2 x 2

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