Enunciado

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Determine se a função composta f ∘ g é par ou ímpar em cada um dos seguintes casos: f e g são ambas ímpares.

Passo 1

Se as duas funções possuem simetria ímpar, podemos afirmar que:

- f x = f - x

E

- g x = g ( - x )

E queremos saber da simetria da função composta. Isso quer dizer que precisamos achar alguma relação tipo:

f g x = f g - x

Ou

- f g x = f g - x

Que seriam os dois casos quando a função composta é par e ímpar respectivamente. Se não for possível satisfazer nenhuma dessas duas afirmações, a função não é nem par nem ímpar. Vamos fazer algumas substituições com o que temos e dá pra chegar no resultado de boas.

Passo 2

Fazendo a composição das funções:

f g x

Agora precisamos achar alguma outra informação para concluir algo sobre a paridade da função composta. Podemos reescrever isso como:

- ( - f g x

E a questão nos diz que - f x = f - x . Então podemos reescrever isso como:

- f - g x

Também podemos reescrever - g ( x ) como g ( - x ) porque a g é ímpar!

- f g - x

Ou seja:

f g x = - f g - x

Agora passando o sinal negativo para o outro lado:

- f g x = f ( g - x )

Satisfizemos aquela 2ª equação lá do 1º passo! Então a f ∘ g é ímpar.

Resposta

Ímpar

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