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Determine se a função definida por partes é derivável na origem

g x = x 2 3 ,     x ≥ 0 x 1 3 ,     x < 0

Passo 1

Para definir se uma função é derivável em um ponto, basta calcular a derivada laterais ao ponto.

Passo 2

Devemos saber que definimos a derivada à esquerda de uma função como sendo:

d d x g x   =   lim x → k - ⁡   g x - g k x   -   k

Já a derivada à direita é definida como:

d d x g x   =   lim x → k + ⁡   g x - g k x   -   k

Passo 3

Calculando a derivada à direita:

d d x g x   =   lim x → k + ⁡   g x - g k x   -   k

d d x g x   =   lim x → k + ⁡   x 2 3 - k 2 3 x   -   k

d d x g x   =   lim x → k + ⁡   ( x 1 3 - k 1 3 ) ( x 1 3 + k 1 3 ) x   -   k

d d x g x   =   lim x → k + ⁡   ( x 1 3 - k 1 3 ) ( x 1 3 + k 1 3 ) ( x 1 3 - k 1 3 ) ( x 2 3   +   x 1 3 ∙ k 1 3     +   k 2 3 )

d d x g x   =   lim x → k + ⁡   ( x 1 3 + k 1 3 ) ( x 2 3   +   x 1 3 ∙ k 1 3     +   k 2 3 )

d d x g x   =   ( k 1 3 + k 1 3 ) ( k 2 3   +   k 1 3 ∙ k 1 3     +   k 2 3 )

d d x g x   =   2 ( k 1 3 ) ( k 2 3   +   k 2 3     +   k 2 3 )

d d x g x   =   2 ( k 1 3 ) 3 ( k 2 3   )

d d x g x   =   2 3 ( k 1 3 )

Se k   =   0

d d x g x   =   2 3 ( 0 1 3 )   =   ∞

Passo 4

Calculando a derivada à esquerda:

d d x g x   =   lim x → k - ⁡   g x - g k x   -   k

d d x g x   =   lim x → k - ⁡   x 1 3 - k 1 3 x   -   k

d d x g x   =   lim x → k - ⁡   x 1 3 - k 1 3 ( x 1 3 - k 1 3 ) ( x 2 3   +   x 1 3 ∙ k 1 3     +   k 2 3 )

d d x g x   =   lim x → k - ⁡   1 ( x 2 3   +   x 1 3 ∙ k 1 3     +   k 2 3 )

d d x g x   =   1 ( k 2 3   +   k 1 3 ∙ k 1 3     +   k 2 3 )

d d x g x   =   1 3 ( k 2 3 )

Se k   =   0

d d x g x   =   1 3 ( 0 2 3 )   =   ∞

Resposta

Como as derivadas laterais são iguais, podemos dizer que a função é derivável na origem.

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Calcule as derivadas à direita e à esquerda como limites para mostrar que a função não é derivável no ponto P.
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Determine se a função definida por partes é derivável na origem f x = 2 x   -   1 ,     x ≥ 0 x 2 + 2 x   +   7 ,     x < 0