Enunciado

Determine x > 0 para que a série seja convergente:

∑ n = 1 + ∞ n ! x n n n

Passo 1

Para resolver essa belíssima questão, meus queridos, vamos fazer uso do critério da razão!!!

Esse critério nos garante que:

Seja a série ∑ k = 0 + ∞   a k , com a k > 0 para todo k ≥ q , onde q é um natural fixo. Suponhamos que lim k → + ∞ ⁡ a k + 1   a k exista, finito ou infinito. Seja:

L = lim k → + ∞ ⁡ a k + 1 a k

Então,

a) L < 1 ⇒ ∑ k = 0 + ∞   a k é convergente.

b)   L > 1   o u   L = + ∞ ⇒ ∑ k = 0 + ∞   a k é divergente.

c) Se L = 1 , o critério não nos revela nada.

Passo 2

Passo 3

Nossa série é dada por:

∑ n = 1 + ∞ n ! x n n n

Então, sem muita conversa, vamos aplicar o teste da razão:

Nossa série é dada por:

a n = n ! x n n n

Vamos:

L = lim n → + ∞ ⁡ n + 1 ! x n + 1 n + 1 n + 1 n ! x n n n

Como queremos que a série seja convergente, precisamos que L < 1 , então, após fazermos as devidas simplificações, temos a nova equação dessa forma:

L = lim n → + ∞ ⁡ x ∙ n n n + 1 n < 1

OBS:

x ∙ lim n → + ∞ ⁡ n n n + 1 n

Evidenciando n nas equações:

x ∙ lim n → + ∞ ⁡ n n ( 1 + 1 n ) n = x ∙ lim n → + ∞ ⁡ 1 1 + 1 n n

Lembrem-se que:

lim n → + ∞ ⁡ 1 + 1 n n = e

Logo:

L = x e

Como L = x e e queremos L < 1 :

x e < 1

x < e

Portanto, a série é convergente para 0 < x < e .

Passo 4

Resposta

Para 0 < x < e a série irá convergir.

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