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Determine a massa da bola B dada por x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 se a densidade em qualquer ponto for proporcional à sua distância do eixo z.

Passo 1

Bom, a densidade é proporcional à distância no eixo z, então:

ρ ( x , y , z ) = k x 2 + y 2

Onde k é a constante de proporcionalidade.

A massa então é:

m = ∫ ∫ B ∫ ρ ( x , y , z )   d V = ∫ ∫ B ∫ k x 2 + y 2   d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 a ∫ - a 2 - r 2 a 2 - r 2 ( k r ) ⋅ ( r )   d z d r d θ = 2 π ∫ 0 a 2 k r 2 a 2 - r 2 d r

Passo 2

Vamos aqui substituir r = a   s e n   u e d r = a   c o s   d u

= 2 π ∫ 0 π / 2 2 k a 2 s i n 2 u a 2 - a 2 s i n 2 u ( a c o s u   d u )

= π k a 4 ∫ 0 π / 2 s i n 2 2 u   d u

Usando a propriedade s i n 2 θ = 1 - c o s ( 2 θ ) 2 , chegamos em:

= 1 2 π k a 4 ∫ 0 π / 2 1 - c o s 4 u   d u

= 1 2 π k a 4 ⋅ π 2 = π 2 k a 4 4

Resposta

π 2 k a 4 4

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