Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Determine o ponto sobre a reta

x a + y b = 1

Que está mais próximo da origem.

Passo 1

Vamos procurar o menor valor do quadrado da distância, isso porque ela tem a seguinte relação com as coordenadas:

d 2 = x 2 + y 2

Fica mais fácil trabalhar com isso, afinal, menor valor de d 2 vai dar menor valor de d

Isolando o y na equação da reta:

x a + y b = 1

Multiplicando por b

b a x + y = b

y = b - b a x

Assim, d 2 fica:

d 2 = x 2 + b - b a x 2

d 2 = x 2 + b 2 - 2 b 2 a x + b 2 a 2 x 2

Aqui, o valor de x pode variar quanto ele quiser.

Passo 2

Acabamos achando uma equação de 2 º grau. Ela tem apenas um mínimo mesmo, que vai ser quando a derivada é 0 .

Vamos só derivar e igualar a 0 e essa será nossa resposta para x

d 2 ' = 2 x - 2 b 2 a + 2 b 2 a 2 x

Fazendo essa expressão igual a 0

2 x - 2 b 2 a + 2 b 2 a 2 x = 0

2 x + 2 b 2 a 2 x = 2 b 2 a

Colocando o x em evidência:

x 2 + 2 b 2 a 2 = 2 b 2 a

x 2 a 2 + 2 b 2 a 2 = 2 b 2 a

x = 2 b 2 a 2 2 a a 2 + b 2

x = a b 2 a 2 + b 2

Assim, vamos ter também:

y = b - b a a b 2 a 2 + b 2

y = a 2 b a 2 + b 2

Resposta

x = a b 2 a 2 + b 2

y = a 2 b a 2 + b 2

Exercícios de Livros Relacionados

Consulte o Exercício 39, da série de Exercícios 3.2. Uma excursão de uma escola que pode acomodar até 250 estudantes custará $ 15 por estudante, se no máximo 150 fizerem a viagem, ...
Encontre, com precisão de duas casas decimais, as coordenadas do ponto na curva y = t a n ⁡ ( x ) que está mais próximo do ponto ( 1,1 )
Se 1   200   c m 2 de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caixa.
Um fazendeiro quer cercar uma área de 15   000   m 2 em um campo retangular e então dividí-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Como fazer isso de forma a...
Encontre o ponto sobre a reta y = 4 x + 7 que está mais próximo da origem.
Uma folha de papelão com medidas 24 × 36   p o l . É dobrada ao meio para formar um retângulo de 24 × 18   p o l . , como mostra a figura a seguir. Depois, quatro quadrados congrue...
Uma folha de papelão mede 10 × 15   p o l . . Dois quadrados iguais são recortados dos vértices de um lado com 10 p o l . , como mostra a figura. Dois retângulos iguais são recorta...
Dado a circunferência de equação x 2 + y 2 = 9 , ache a maior distância entre o ponto (4, 5) e um ponto na circunferência.
Determine a altura e o raio do maior cilindro circular reto que pode ser colocado dentro de uma esfera de raio 3 .
Laranjeiras na Califórnia produzem 600 laranjas por ano, se forem plantadas do máximo 20 árvores por acre (4 k m 2 ). Cada árvore plantada a mais causa um decréscimo de 15 laranjas...
Duas partículas entram em movimento ao mesmo tempo. Uma move-se segundo uma reta horizontal e sua equação de movimento é x = t 2 - 2 t , onde x   cm é a distância orientada da part...
Resolva o Exercício 35, se uma das partes for dobrada na forma de um triângulo equilátero, e a outra, na forma de um quadrado.