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Determine a primeira e a segunda derivadas das funções nos Exercícios 45-52.

p = q 2 + 3 q - 1 3 + q + 1 3

Passo 1

A questão pede para obter a primeira e a segunda derivadas de p q . Como temos uma fração, utilizaremos da regra do quociente

p ' = f g ' = f ' ∙ g - f ∙ g ' g 2

Passo 2

Obtendo a derivada de ordem 1:

p ' = q 2 + 3 q - 1 3 + q + 1 3 '

p ' = q 2 + 3 ' q - 1 3 + q + 1 3 - q 2 + 3 q - 1 3 + q + 1 3 ' q - 1 3 + q + 1 3 2

p ' = 2 q 2 - 1 + 0 q - 1 3 + q + 1 3 - q 2 + 3 q - 1 3 ' + q + 1 3 ' q - 1 3 + q + 1 3 2

p ' = 2 q q - 1 3 + q + 1 3 - q 2 + 3 q - 1 3 ' + q + 1 3 ' q - 1 3 + q + 1 3 2

Na equação acima podemos ver uma derivada um pouco diferente

q - 1 3 '

Aqui, podemos abrir o termo ao cubo ou fazer uma mudança de variável. Vamos seguir a ideia de fazer uma mudança de variável.

q - 1 = a

Portanto

d ( q - 1 3 ) d q = d a 3 d q

Se lembrarmos das propriedades de derivada

d a 3 d q = d a 3 d a ∙ d a d q

Logo,

d ( q - 1 3 ) d q = 3 a 3 - 1 ∙ q - 1 '

d ( q - 1 3 ) d q = 3 q - 1 2 q 1 - 1 + 0

d ( q - 1 3 ) d q = 3 q - 1 2 1

d ( q - 1 3 ) d q = 3 q - 1 2

Fazendo a mesma coisa para q + 1 ,

d ( q + 1 3 ) d q = 3 q + 1 2 ∙ q + 1 '

d ( q + 1 3 ) d q = 3 q + 1 2 ∙ q 1 - 1 + 0

d ( q + 1 3 ) d q = 3 q + 1 2

Portanto,

q - 1 3 ' + q + 1 3 ' = 3 q - 1 2 + 3 q + 1 2

Lembrando que a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

q - 1 3 ' + q + 1 3 ' = 3 q 2 - 2 q + 1 + 3 q 2 + 2 q + 1

q - 1 3 ' + q + 1 3 ' = 3 q 2 - 6 q + 3 + 3 q 2 + 6 q + 3

q - 1 3 ' + q + 1 3 ' = 6 q 2 + 6

Substituindo em p ' :

p ' = 2 q q - 1 3 + q + 1 3 - q 2 + 3 6 q 2 + 6 q - 1 3 + q + 1 3 2

Lembrando que a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

p ' = 2 q q 3 - 3 q 2 + 3 q - 1 + q 3 + 3 q 2 + 3 q + 1 - q 2 + 3 6 q 2 + 6 q 3 - 3 q 2 + 3 q - 1 + q 3 + 3 q 2 + 3 q + 1 2

p ' = 2 q 2 q 3 + 6 q - q 2 + 3 6 q 2 + 6 2 q 3 + 6 q 2

p ' = 4 q 4 + 12 q 2 - 6 q 4 + 6 q 2 + 18 q 2 + 18 2 q 3 + 6 q 2

p ' = 4 q 4 + 12 q 2 - 6 q 4 - 6 q 2 - 18 q 2 - 18 2 q 3 + 6 q 2

p ' = - 2 q 4 - 12 q 2 - 18 2 q 3 + 6 q 2

p ' = - 2 q 4 + 6 q 2 + 9 2 q 3 + 6 q 2

p ' = - 2 q 4 + 6 q 2 + 9 2 q q 2 + 3 2

p ' = - 2 q 4 + 6 q 2 + 9 2 q 2 q 2 + 3 2

p ' = - 2 q 4 + 6 q 2 + 9 4 q 2 q 2 + 3 2

Abrindo o termo quadrático:

p ' = - 2 q 4 + 6 q 2 + 9 4 q 2 q 4 + 6 q 2 + 9

p ' = - 2 4 q 2 = - 1 2 q 2

Pronto, calculamos a primeira derivada de p q .

Passo 3

A próxima derivada é obtida por:

p ' ' = - 1 2 q 2 '

p ' ' = - q - 2 2 '

p ' ' = - 1 2 ∙ - 2 q - 2 - 1

p ' ' = q - 3 = 1 q 3

Fim!!!

Resposta

p ' = - 1 2 q 2

p ' ' = 1 q 3

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