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Determine o produto vetorial a × b e verifique que ele é ortogonal a a e b .

Passo 1

Temos a = 5 , 1,4 = 5 i + 1 j + 4 k b = - 1,0 , 2 = ( - 1 ) i + 0 j + 2 k  

Agora vamos fazer o produto vetorial

a × b =   i j k 5 1 4 - 1 0 2 = i ∙ 1 ∙ 2 + j ∙ 4 ∙ - 1 + k ∙ 0 ∙ 5 - i ∙ 0 ∙ 4 + j ∙ 5 ∙ 2 + k ∙ 1 ∙ - 1 =

= 2 i - 4 j + 0 k - 0 i - 10 j + 1 k =

= 2 i - 14 j + 1 k

Passo 2

Agora vamos descobrir se o vetor a é ortogonal ao vetor a × b . Para isso façamos o produto escalar entre eles, porque somos marotos e sabemos que se o ângulo for de 90 ° o produto escalar será 0 . Para calcularmos a ∙ b precisamos lembrar da definição do produto escalar. Se a = ( a 1 ,   a 2 ,   a 3 ) e b = ( b 1 ,   b 2 ,   b 3 ) ; o produto escalar entra a e b é dado por:

a ∙ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = a b cos ⁡ α

a × b ∙ a = 2 , - 14,1 ∙ 5,1 , 4 =

= 2 ∙ 5 + - 14 ∙ 1 + 1 ∙ 4 = 0

Passo 3

Temos que a × b = 2 2 + ( - 14 ) 2 + 1 2 = 201 a = 5 2 + 1 2 + 4 2 = 42 ; sabemos que:

a × b ∙ a = 201 ∙ 42 cos ⁡ α 0 →

→ 201 ∙ 42 cos ⁡ α = 0

cos ⁡ α = 0

α = 90 °

Passo 4

Agora queremos descobrir se o vetor b também é ortogonal ao vetor a × b , para isso vamos usar os mesmos conceitos que usamos para descobrir se a era ortogonal.

a × b ∙ b = a × b b cos ⁡ α

a × b ∙ b = 2 , - 14,1 ∙ - 1,0 , 2 =

= 2 ∙ ( - 1 ) + - 14 ∙ 0 + 1 ∙ 2 = 0

Passo 5

Temos que a × b = 2 2 + ( - 14 ) 2 + 1 2 = 201 a = ( - 1 ) 2 + 0 2 + 2 2 = 5 ; sabemos que:

a × b ∙ a = 201 ∙ 5 cos ⁡ α 0 →

→ 201 ∙ 5 cos ⁡ α = 0

cos ⁡ α = 0

α = 90 °

Resposta

2 i - 14 j + 1 k

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