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Determine (a) o rotacional e (b) a divergência do campo vetorial.

F x , y , z = i + x + y z j + x y - z k

Passo 1

Primeiro vamos nos lembrar o que é um rotacional e o que é um divergente. O rotacional de um campo pode ser visto como o produto vetorial do operador gradiente com o gradiente da função. Sabendo que F = P i + Q j + R k , então

r o t   F = ∇ × F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R

r o t   F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Já o divergente pode ser visto como o produto interno de um operador gradiente uma função, logo,

d i v   F = ∇ ⋅ F

d i v   F = ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z

Passo 2

Para calcular o divergente, para obter as derivadas parciais de cada uma das funções P ,   Q e R . Portanto,

∂ P ∂ x = 0

∂ Q ∂ y = z

∂ R ∂ z = - 1 2 z

Logo, o divergente da função é:

d i v   F = z - 1 2 z

Resposta

d i v   F = z - 1 2 z

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