Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 11.6 - Ex. 15

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Determine se a serie e absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:

∑ n = 1 ∞ - 1 n a r c t g n n 2  

Passo 1

Verificando a convergência absoluta:

∑ n = 1 ∞ - 1 n a r c t g n n 2 =   ∑ n = 1 ∞ a r c t g n n 2  

Usando a propriedade da função: a r c t g n ≤ π 2 .

Podemos escrever: a r c t g n n 2 ≤ π 2 . n 2 . Portanto, pelo teste de comparação, temos que a serie cujo o termo geral e dado pela expressão da esquerda converge, pois a serie ∑ π 2 . n 2 = π 2 . ∑ 1 / n 2 e convergente.

Logo, a serie do enunciado converge absolutamente.

Resposta

A serie converge absolutamente.

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