Enunciado

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 2 ∞ n ln ⁡ n n

Passo 1

Pessoal, como ali na série temos algo elevado a n , pode ser que o Teste da Raiz nos ajude, não é mesmo? Bora tentar?

L = lim n → ∞ ⁡ | a n | n = lim n → ∞ ⁡ n ln ⁡ n n n = lim n → ∞ ⁡ n n ln ⁡ n = lim n → ∞ ⁡   n 1 n ln ⁡ n

Parece um limite difícil de resolver né?

Passo 2

Pra poder usar L’Hôpital, vamos tentar primeiro calcular a derivada de n 1 n :

y = n 1 n

Aplicamos o logaritmo nos dois lados:

ln ⁡ y = 1 n ln ⁡ n

Agora derivamos cada lado implicitamente, sendo nosso objetivo isolar y ' :

1 y y ' = - 1 n 2 ln ⁡ n + 1 n 1 n

y ' = y n 2 1 - ln ⁡ n

n 1 n ' = n 1 n n 2 1 - ln ⁡ n

Passo 3

Agora podemos aplicar L’Hôpital:

L = lim n → ∞ ⁡   n 1 n ln ⁡ n = lim n → ∞ ⁡ n 1 n n 2 1 - ln ⁡ n 1 n = lim n → ∞ ⁡ n 1 n 1 - ln ⁡ n n = lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 - 1 n - lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n 1 - 1 n

Usando o Teorema do Confronto, a gente vê que cada um desses limites é zero:

0 ≤ 1 n 1 - 1 n ≤ 1 n 1 2           p a r a   n ≥ 2

0 ≤ lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 - 1 n ≤ lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 2

0 ≤ lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 - 1 n ≤ 0

Então, lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 - 1 n = 0 . Analogamente,

0 ≤ ln ⁡ n n 1 - 1 n ≤ ln ⁡ n n 1 2           p a r a   n ≥ 2

0 ≤ lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n 1 - 1 n ≤ lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n 1 2

0 ≤ lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n 1 - 1 n ≤ 0

Assim, lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n 1 - 1 n = 0 , e temos:

L = 0 - 0 = 0

Como L < 1 , pelo Teste da Raiz, podemos afirmar que a série é absolutamente convergente, e portanto, convergente.

Resposta

Série absolutamente convergente

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