Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 6
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente.
Passo 1
Pessoal, uma série é dita absolutamente convergente se for convergente. Portanto, a nossa série será absolutamente convergente se a série a seguir for convergente
Vamos aplicar o teste de comparação de limite. Suponhamos que temos duas séries e tal que para todo . Então, se o limite as duas series convergem ou divergem.
Usando o teste com e . Assim,
A série dada não converge absolutamente porque é divergente, pois temos um caso de uma série com (divergente).
Passo 2
Agora, vamos checar a convergência da série . Temos aqui uma série alternada! Portanto, essa série converge se duas condições forem atendidas:
- é uma sequência decrescente.
No nosso problema, . Vamos verificar cada uma das condições:
- Condição 1: limite de
- Condição 2: é uma sequência decrescente
Seja . Vamos analisar a derivada dessa função:
Aqui podemos ver que para . Logo, é decrescente para . Logo, essa série é convergente.
Resposta
A série é condicionalmente convergente.
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