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Determine se a série converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ 1 n n

Passo 1

Essa questão pode ser resolvida usando teste de comparação. A ideia é comprar uma série dada com uma que a gente já sabe ser convergente ou divergente. Ao usarmos o teste de comparação, devemos, é claro, ter algumas séries conhecidas já na manga. Na maior parte do tempo usamos uma destas séries:

  • Uma série p [ ∑ 1 / n p converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1 ];
  • Uma série geométrica [ ∑ a r n - 1 converge se r < 1 e diverge se r ≥ 1 ].

Portanto, se temos uma série ∑ a n e outra ∑ b n (a série a ser comparada) com termos positivos:

  1. Se ∑ b n for convergente e a n ≤ b n para todo n , então ∑ a n também será convergente;
  2. Se ∑ b n for divergente e a n ≥ b n para todo n , então ∑ a n também será divergente.

Passo 2

Vamos olhar a nossa questão! Temos a seguinte série:

∑ n = 1 ∞ 1 n n

Essa série pode ser aproximada por uma série igual a

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Comparando essas séries temos:

∑ n = 1 ∞ 1 n n < ∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Esse formato de série é bem parecido com um apresentado no passo anterior, não é? Ela é uma série p ! E como p = 2 > 1 , essa série é convergente! Portanto

∑ n = 1 ∞ 1 n n

é convergente pelo Teste de Comparação.

Resposta

A série é convergente!

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