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Determine se a série converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ cos 2 ⁡ n n 2 + 1

Passo 1

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste desta seção do livro que é o teste da comparação.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida e outra não.

Supondo que nós temos duas séries: ∑ a n e ∑ b n , podemos concluir algumas coisas:

  • Se a n ≥ b n ,   ∀ n e nós sabemos que ∑ b n diverge, então ∑ a n também diverge.
  • Se a n ≤ b n ,   ∀ n e nós sabemos que ∑ b n converge, então ∑ a n também converge.
  • Para outros casos não podemos concluir nada.

Passo 2

Para esta série, vamos tentar provar que ela converge, para isso precisamos pensar em uma série para compararmos. Se queremos provar que a série converge, precisamos de uma série convergente que seus termos sejam maiores que o da nossa série.

Se chamarmos o termo geral da nossa série de a n , podemos dizer que

a n = cos 2 ⁡ n n 2 + 1

E isso vale para n ≥ 1 .

Para compararmos, vamos usar

b n = 1 n 2 + 1

Mas porque essa série?

Primeiramente, porque nós podemos comprovar a convergência desta série, pela série-p, temos um denominador polinomial de grau maior que 1 , logo a série

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 1

É convergente.

Passo 3

Outro motivo pelo qual vamos usar b n = 1 n 2 + 1 é que

a n < b n ,     ∀ n ≥ 1

Porque isso acontece? Vamos analisar isso melhor

cos 2 ⁡ n n 2 + 1 ≤ 1 n 2 + 1

Estamos comparando duas frações com um mesmo denominador, então só precisamos comparar o numerador e nós sabemos que - 1 ≤ cos ⁡ θ ≤ 1 , elevando ao quadrado 0 ≤ cos 2 ⁡ θ ≤ 1 , então podemos afirmar que cos 2 ⁡ n ≤ 1 .

Então como a n ≤ b n ,     ∀ n ≥ 1 e nós sabemos que ∑ n = 1 ∞ b n converge, pelo teste da comparação

∑ n = 1 ∞ cos 2 ⁡ n n 2 + 1

É convergente.

Resposta

Converge.

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