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Determine se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n

Passo 1

Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral?

Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza?

Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral a n da série e associá-lo a uma função f ( x ) . Nesse nosso caso, ficamos com:

a n = 1 n ln ⁡ n ↔ f x = 1 x ln ⁡ x

Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio [ 2 , ∞ ) .

De maneira prática, é só olhar para o termo geral a n e ver se ele será sempre positivo (no nosso caso, é tranquilo de perceber isso) e se ele decresce à medida que n aumenta. Essa última parte é praticamente o Teste da Divergência, ou seja, se percebermos que

lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0

então não só não aplicaremos o Teste da Integral, como também já saberemos que a série é divergente.

Passo 2

Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:

∫ 2 ∞ f ( x ) d x = ∫ 2 ∞ d x x ln ⁡ x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 2 t d x x ln ⁡ x

Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a substituição u = ln ⁡ x ∴ d u = d x x :

∫ 1 ln ⁡ x ⏟ u ∙ d x x ⏟ d u = ∫ d u u = ln ⁡ u = ln ⁡ ln ⁡ x

Retornando à nossa integral imprória, temos:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 2 t d x x ln ⁡ x = lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x 1 t = lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ t - ln ⁡ ln ⁡ 2 = ∞

Passo 3

Opa! A nossa integral imprória divergiu!

Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é divergente!

Resposta

∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n   é  divergente

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