Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 11.2 - Ex. 35

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Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n 2 + 1 2 n 2 + 1

Passo 1

Para testar a convergência usaremos o teste do termo geral.

Este teste diz que para uma série

∑ n = 1 ∞ a n

convergir é necessário que

lim n → ∞ ⁡ a n = 0

Passo 2

Na série que estamos analisando temos que

a n = ln ⁡ n 2 + 1 2 n 2 + 1

No limite

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 2 + 1 2 n 2 + 1

Colocando n 2 em evidencia no denominador e numerador do argumento do ln ⁡  

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 2 1 + 1 n 2 n 2 2 + 1 n 2 = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 1 n 2 2 + 1 n 2 = ln ⁡ 1 2

Portanto temos que lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0 , logo a série diverge.

Resposta

Diverge.

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