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Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma.

∑ k = 0 ∞ 2 - k

Passo 1

Aqui temos uma série geométrica com primeiro termo a 1 = 1 e razão q = 1 / 2 .

∑ k = 0 ∞ 2 - k = 1 + 2 - 1 + 2 - 2 + …

Uma série geométrica é dita convergente se a razão está dentro do seguinte intervalo - 1 < q < 1 . Como o valor de q = 1 2 < 1 , nós temos uma série convergente!

Passo 2

Já descobrimos que a série converge. Agora, vamos calcular a soma dessa série! Assumindo o primeiro elemento como 1 . A soma infinita de termos de uma progressão geométrica é dada por:

S = a 1 1 - q

Substituindo os valores, temos:

S = 1 1 - 1 2 = 1 2 - 1 2

S = 2 2 - 1

Assim, podemos dizer que a série converge para 2 2 - 1 .

Resposta

A série é convergente e converge para 2 2 - 1 .

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