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Determine k para que se tenha

∫ - ∞ + ∞ e k t   d t = 1

Passo 1

A função módulo é definida por

t = t - t   s e   t ≥ 0 s e   t < 0

Então podemos reescrever a integral, como a soma de 2 integrais

∫ - ∞ + ∞ e k t   d t = ∫ - ∞ 0 e - k t   d t + ∫ 0 + ∞ e k t   d t

E ainda mais, podemos perceber a simetria da função, já que o módulo faz com que f t = f - t , então é verdadeiro afirmar que

∫ - ∞ 0 e - k t   d t = ∫ 0 + ∞ e k t   d t

Logo

∫ - ∞ + ∞ e k t   d t = 2 ∫ 0 + ∞ e k t   d t

Passo 2

Vamos então resolver a integral, como se trata de uma integral imprópria, vamos aplicar o limite

∫ 0 + ∞ e k t   d t = lim A → + ∞ ⁡ ∫ 0 A e k t   d t

= lim A → + ∞ ⁡ e k t k 0 A = lim A → + ∞ ⁡ e k A k - e 0 k

Se k > 0 , então e k A → + ∞ quando A → + ∞ , e a igualdade do enunciado não seria possível, então vamos assumir que k < 0 e k A → 0

lim A → + ∞ ⁡ e k A k - e 0 k = - 1 k

Passo 3

Voltando a igualdade

∫ - ∞ + ∞ e k t   d t = 2 ∫ 0 + ∞ e k t   d t = - 2 k

E isso tem que satisfazer

∫ - ∞ + ∞ e k t   d t = 1

Então

- 2 k = 1

k = - 2

Resposta

k = - 2

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →